A while ago I finished reading this book:
Emile Borel, ” Les Nombres Inaccessibles”, Gauthier-Villars, Paris, 1952.

I found out about Borel via Gregory Chaitins ‘Meta Math !’, and earlier on I posted a passage of Borel quoted by Chaitin. What I find great about Borel is the Borgesian twist many of his thought experiments have. Also it’s a kind of mathematics that is very philosophical and relatively accessible since Borel writes in French rather than formulas. His “Nombres Inaccessibles” traces the surprising consequences of the idea that the amount of numbers we tend to used is dwarfed by the infinitely higher amount of numbers that are so huge that we can not even formulate them. In this way he unfolds a view on mathematics as something man-made and with a constructivist tinge sometimes (or is that in the eye of the beholder ?).

Below a longish quote (and translation) to give an idea of the poetry in parts of this book; Borel has many examples like these, another favourite of mine is when he talks about the number that is formed by regarding the outcomes of all games ever played in the history of humanity as a sequence of digits forming one very long binary number..

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… un page d’un livre français (ou anglais, etc.) se présente ainsi comme la suite d’un certain nombre de 26 lettres a, b, c, …, x, y, z. On peut donc considérer cette page comme un nombre écrit dans le système de de numération de base 26, a correspondant au chiffre 0, b au chiffre 1, etc., z au chiffre 25.
Un volume d’un certain nombre de pages pourra de méme étre regardé comme un seul nombre; … Établir les conventions [pour cela] … est chose simple et facile si l’on ne considère qu’un seul volume; il en serait autrement si l’on voulait, pour définir un nombre très grand, classer les uns après les autres tous les volumes d’une grande bibliothèque. …
Si nous nous bornons à un seul volume, nous savons que l’édition que nous avons entre les mains a généralement été imprimée à de nombreux exemplaires, dont plusieurs subsistent, si la publication n’est pas trop ancienne. … Les volumes de la même édition définissent … un même nombre pouvant comporter environ un million de chiffres (dans le système de base 26).
Est-il besoin de dire qu’un tel nombre ne présente aucun intérêt pour le mathématicien, qui sera toujours incapable d’en démontrer la moindre propriété ? Mais personne n’aurait jamais songé à écrire dans le système décimal un nombre aussi grand et nous aurions beaucoup de peine à concevioir combien est grande la variété de nombres aussi élevés.
L’exemple du volume écrit en français parle bien davantage à notre imagination, car nous savons quelle complexité et quelle richesse il y a dans une seule page d’un livre. La variété possible nous apparaît comme d’une richess inouie, si nous songeons que, dans les millions de volumes d’une bibliothèque, comportant des milliards de lignes, il n’y a pas deux lignes identiques, sauf dans le cas où l’on fait une citation.
Pour celui qui connaîtrait toutes les propriétés des nombres, il est probable que deux nombres de 50 chiffres apparaîtraient comme ayant chacun une personnalité propre, tout comme deux lignes différentes en langue française.
Les nombres qui jouent en analyse un rôle important, tels que e ou pi, dont les chiffres décimaux nous apparaissent comme une masse confuse d’où ne se dégage aucune loi, devraient apparaître, à celui qui saurait en dégager les lois complexes, comme aussi intéressants et aussi beaux qu’un célèbre sonnet ; …
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.. in this way a page of a French book (or English, etc.) presents itself as a sequence of a certain number of 26 characters a, b, c, …, x, y, z. We can therefore consider that page as a number written in a numbering system with base 26, a corresponding to the number 0, b to the number 1, etc, z to the number 25.
A volume of a certain number of pages can similarly be considered as one number; … To establish conventions [for this] … is a simple matter if we only look at one volume; it would be different if we would like to order one after another all the volumes of a large library, in order to define a very large number. …
If we limit ourselves to one volume, we know that the edition we have in our hands has generally been printed in many copies, of which several still exist if the publication is not too ancient. … The volumes of the same edition define … the same number, made up of about a million characters (in the base 26 system).
Is it necessary to say that such a number is of no interest whatever to the mathematician, who will always be incapable of showing the slightest property this number has ? But nobody would have ever thought of writing such a large number in the decimal system and we would have a lot of trouble to imagine how great the variety of such high numbers is.
The example of a volume written in French speaks much more to our imagination, because we know what complexity and abundance there is in one page of a book. The variety that is possible to us seems like an unheard of wealth, if we think that in the millions of volumes in a library, containing billions of lines, there are no two lines that are identical, except in the case of a quote.
To him who would know all properties of all numbers, it is likely that two numbers of 50 characters would each appear with its own personality, just like two different lines in the French language.
The digits of numbers that play an important role in analysis, like e or pi, appear to us like a confused mass from which we can derive no law. To him who would be able to derive its complex laws, they would seem as interesting and beautiful as a famous sonnet ; …
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